Demostración. Grado de ionización en función del factor de Van’t Hoff

Demostremos una fórmula para calcular el grado de ionización en función del  factor de Van 't Hoff. Dado que el grado de ionización se define a partir del avance de la reacción, comenzaremos estableciendo este concepto como punto de partida. En este modelo, el reactivo será una única especie, denotada por i, que se disocia en dos productos: un catión (cat) y un anión (ani). A ambos productos se les denominará colectivamente como iones (ion).

El problema del equilibrio

El principal desafío al abordar escenarios que involucran el factor de Van’t Hoff y el grado de ionización es que estos conceptos preceden al estudio formal del equilibrio químico, del cual dependen muchos de sus fundamentos. Por esta razón, suelen tratarse de manera marginal o superficial. No obstante, son esenciales para comprender la coligación no ideal de electrolitos supuestamente fuertes, como el NaCl. En este curso, sin embargo, la introducción previa del concepto de cantidad de reacción en [Ley de los volúmenes de combinación] permite enfrentarlos de forma coherente y armónica, sin necesidad de desarrollar aún toda la teoría del equilibrio.

Iniciaremos con el [Axioma de la cantidad de reacción], asumiremos que es el reactivo limitante por ende en sentido directo la cantidad de sustancia que si importa es la inicial

La clave del enfoque de equilibrio mediante la cantidad de reacción radica en reconocer la existencia de dos cantidades de reacción: una asociada a la reacción directa y otra a la reacción reversa. La reacción directa parte desde la cantidad de sustancia inicial y la cantidad de reacción en reversa desde la cantidad de sustancia final.

La diferencia entre ambas, se define como el avance de la reacción.

Para una sustancia ionizable el número estequiométrico siempre es 1.

También definimos [5] para los iones. Sin embargo, en el caso de los iones, la cantidad inicial es cero, ya que se parte idealmente de un soluto ionizable sólido antes de que ocurra el proceso de ionización. En equilibrio cuando defines el avance de la reacción a partir de los productos debes invertir los signos.

De este modo, podemos despejar las cantidades de sustancia en equilibrio para la molécula original y para ambos iones. En el caso de la molécula, dado que parte de ella permanece sin ionizar, su cantidad en equilibrio se obtiene restando la fracción que ha reaccionado. Para los iones, como asumimos que no estaban presentes al inicio, su cantidad de sustancia en equilibrio será igual a la cantidad que se ha generado a partir de la ionización de la molécula. Así, se obtienen expresiones claras para las cantidades de sustancia de cada especie química en el equilibrio.

A continuación, invocamos el [Axioma del factor de van´t Hoff] que relaciona el comportamiento coligativo de una disolución con el número efectivo de partículas en equilibrio químico.

Este principio nos permitirá vincular el grado de ionización con las cantidades de sustancia presentes al finalizar la reacción. Nos centraremos ahora en la cantidad total de sustancia en equilibrio, definida como la suma de toda cantidad en equilibrio.

Y expresamos [12] en términos de [9] y [10].

 

Resolvemos el factor común negativo.

Reemplazamos en [11]

Ahora procedemos a despejar el avance de la reacción, ya que el factor de Van ’t Hoff puede determinarse de forma independiente mediante cualquiera de las cuatro propiedades coligativas, lo que facilita su medición y confirmación por diferentes métodos. Dado que el factor de Van ’t Hoff es una propiedad que se obtiene experimentalmente con relativa facilidad, suele estar disponible en numerosos casos. Por ello, al expresar el  avance de la reacción en función de este factor, podemos calcularlo con precisión y emplearlo para determinar el estado del sistema en equilibrio.

Antes de continuar, es necesario definir la cantidad máxima de reacción en función de la cantidad inicial de soluto. Supongamos que, en lugar de considerar un avance de reacción que corresponde a una ionización parcial —donde coexisten tanto las cantidades iniciales como finales de la molécula (i)—, ahora en equilibrio solo permanecen iones. En este escenario, la cantidad de sustancia final de la molécula (i) sería cero, dado que toda la sustancia se ha ionizado completamente.

Esto nos permite visualizar el límite máximo del proceso de ionización, en el cual la cantidad de sustancia de la molécula original desaparece completamente y sólo permanecen los iones generados. Esta  cantidad máxima de reacción está vinculada directamente a la  cantidad inicial de soluto y nos ayuda a entender cómo el  avance de la reacción se aproxima a su valor máximo bajo condiciones de ionización completa. Más allá del marco teórico, el resultado práctico es que el avance máximo de la ionización es igual a la cantidad inicial del soluto, lo que facilita sustituir este valor en la ecuación que describe el avance de la ionización parcial.

Invocamos el [Axioma de grado de ionización]

Ahora podemos sustituir en el axioma del grado de ionización las expresiones obtenidas previamente, lo que nos conduce a la ecuación de disociación de Van 't Hoff. Esta ecuación establece una relación clara y directa entre el  grado de ionización, el factor de Van 't Hoff y los  números estequiométricos, facilitando el análisis cuantitativo del proceso de ionización.

Observa que si seguimos el razonamiento de una ionización ideal total en [Axioma del factor de van´t Hoff].

Se sigue que:

Con esto, alcanzamos la fórmula universal para el factor teórico de Van ’t Hoff y su condición general. Cuando asumimos que el factor de Van ’t Hoff es 1, implica un grado de ionización del 1 o 100 %, lo que significa que todas las reacciones posibles se han completado y no ha ocurrido ninguna reacción en reversa o reasociación. 

[Ecuación de vant´T Hoff para el grado de ionización]