Demostración. Como obtener la ecuación de estado a partir de las leyes empíricas

Aunque históricamente esta unificación tomó más de dos siglos de investigación, múltiples controversias teóricas y, lamentablemente, incluso el suicidio de algunos de sus protagonistas, hoy en día el proceso de derivación se ha simplificado al punto de estar al alcance de una multiplicación algebraica.

La ecuación de estado de los gases ideales puede obtenerse al combinar la ley de Gay-Lussac,

$$P_i = k \cdot T \quad (1)$$

que establece una relación directa entre la presión y la temperatura de un gas a volumen constante, con la ley de Avogadro,

$$V_i = V_m \cdot n_i \quad (2)$$

que vincula el volumen con la cantidad de sustancia en moles a temperatura y presión constantes.

En una multiplicación algebraica de ecuaciones, si se multiplican entre sí las variables dependientes que aparecen en el lado izquierdo, entonces también deben multiplicarse las funciones o expresiones correspondientes del lado derecho. Esta operación conserva la equivalencia matemática y permite combinar relaciones independientes en una sola expresión más general.

$$P_i \cdot V_i = k \cdot T \cdot V_m \cdot n_i \quad (3)$$

Luego, aplicamos las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, lo que nos permite reagrupar los términos de forma conveniente. En particular, colocamos entre paréntesis las dos constantes involucradas: la constante de proporcionalidad de la ley de Gay-Lussac, que históricamente no recibió un nombre propio, y el volumen molar, que es la constante característica de la ley de Avogadro.

$$P_i \cdot V_i = n_i \cdot (V_m \cdot k) \cdot T \quad (4)$$

Al hacerlo, estas dos constantes se combinan en una sola nueva constante general, que más adelante se identificará como la constante universal de los gases.

$$P_i \cdot V_i = n_i \cdot R \cdot T \quad (5)$$ Visualizada de forma mas didáctica y con su factor de conversión homólogo aquí.