Demostración. Densidad a partir de la segunda ley de Newton

Partimos de la forma vectorial de la segunda ley de Newton, que relaciona la fuerza, la masa y la aceleración:

\[ \vec{F} = m \cdot \vec{a} \](1)

Asumiremos un sistema unidimensional en el que la presión de un gas ejerce una fuerza expansiva en dirección opuesta a la fuerza que la atmósfera ejerce sobre el gas. La magnitud de la aceleración es \( | \vec{a} | = g \).

Figura 1.  Estas ecuaciones están diseñadas para un cubo con un émbolo móvil que contiene un gas perfecto sin fugas. El émbolo alcanza su punto de equilibrio o estado de equilibrio cuando la fuerza expansiva del gas se iguala a la fuerza compresiva ejercida por la atmósfera

Sin embargo, dado que la presión es una magnitud escalar, podemos considerar el valor absoluto de ambas magnitudes:

\[ | \vec{F} | = m \cdot | \vec{a} | \] (2)

\[ F = m \cdot g \] (3)

Ahora supongamos que el contenedor del gas tiene un volumen constante, afectado únicamente por uno de sus lados. Para simplificar, definimos su forma como un prisma cúbico de altura y área determinadas:

\[ V = h \cdot A \] (4)

Además, definimos que el gas dentro del contenedor tiene una densidad dada por la razón entre masa y volumen:

\[ \rho = \frac{m}{V} \] (5)

Despejamos la masa a partir de la densidad y sustituimos el volumen por su equivalente en altura y área:

\[ m = \rho \cdot h \cdot A \] (6)

Reemplazamos ahora en la forma ajustada de la segunda ley de Newton para un sistema lineal:

\[ F = \rho \cdot h \cdot A \cdot g \] (7)

Despejamos el cociente fuerza sobre área:

\[ \frac{F}{A} = \rho \cdot h \cdot g \] (8)

Con lo que obtenemos dos definiciones de presión:

\[ P = \frac{F}{A} \] (9)

\[ P = \rho \cdot h \cdot g \] (10)