sábado, 3 de junio de 2017

5 MODELOS DE CRECIMIENTO POBLACIONAL I, LINEAL Y GEOMÉTRICO

Antes de introducir el problema del crecimiento exponencial, se trabajará con el modelo matemático lineal para introducir una serie de nombres de variables que serán empleados en todos los modelos de dinámica de poblaciones. Entre ellos cabe destacar a los símbolos para el tamaño de la población, la designación del tiempo y el mucho más importante, tasa de crecimiento de la población. Aunque la tasa de crecimiento de la población y el tiempo poseen significados diferentes dependiendo del modelo a trabajar, sus significados intrínsecos son semejantes y serán trabajados con más profundidad en los siguientes artículos. El objetivo primordial no es las fórmulas matemáticas, por el contrario es el análisis gráfico.

Referencias básicas: (Belk & Maier, 2013; Hoefnagels, 2015; Mackean & Hayward, 2014; Mader & Windelspecht, 2015, 2018; Mader, 2010; K. A. Mason et al., 2014; Miller & Spoolman, 2009; Mittelbach, 2012; Molles, 2013; Rana, 2013; Reece et al., 2014; Sadava et al., 2014; Simon et al., 2013; Solomon et al., 2014; Starr et al., 2013)

5.1 Modelo lineal

Ya sé que las poblaciones no crecen linealmente, pero el modelo inicial siempre es la base de todos estos tipos de cálculos.

5.1.1 Una población en el plano cartesiano

Dado que los modelos de crecimiento exponencial son básicamente copias de conceptos de dinámica, se aconseja repasar lo trabajado en el movimiento uniformemente acelerado. Sin embargo si usted se encuentra en educación básica introduciremos brevemente algunos conceptos y simbología mediante la gráfica de la línea recta. Los modelos de crecimiento exponencial son sistemas de dos variables, una independiente y la otra dependiente. La variable independiente es el tiempo, la cual solo tiene un eje posible y es el positivo, debido a que el tiempo siempre avanza hacia adelante. Esta variable será simbolizada con la letra (t).

La variable dependiente es el número total de individuos que será simbolizado con la letra (N) mayúscula, emplearemos (n) minúscula en caso de que estemos analizando una fracción de la población total, como por ejemplo el número de machos, el número de crías o el número de hembras. La suma de todos los (n) debe dar como resultado el número total de la población (N). Por lo tanto es posible expresar el problema en términos de un plano cartesiano.

5.1.2 Definiendo la tasa de crecimiento poblacional en el modelo lineal

En base a la gráfica en el plano cartesiano podemos emplear la ecuación de la recta para poder definir un concepto extra que es muy importante en la dinámica de poblaciones y es la tasa de crecimiento de la población. En una línea recta la tasa de crecimiento poblacional es homóloga a la pendiente de la recta. Es decir si tenemos la ecuación de la recta (b2) podemos reemplazarla con las variables de nuestra recta, las “Y” se reemplazan por el tamaño de la población y las “X” por el tiempo, lo cual nos deja la ecuación expresada del siguiente modo (b3). “N(t)” representa el tamaño de la población en cualquier momento t. 

La variable “t” representa el tiempo que puede ser expresado en segundos, minutos, días años o más. N(i) representa el tamaño de la población al inicio de la medida y en ocasiones puede ser representada como N(0) que se lee como el tamaño de la población en el tiempo cero. Mientras que “m” es la pendiente de la recta y representa la tasa de crecimiento de la recta. Sin embargo lo que crece no es una recta abstracta, sino una población, por lo que generalmente se cambia “m” por la tasa reproductiva neta de la población o “r” (b4).

La fórmula para encontrar la pendiente de una recta cualquiera (b5) nos sirve análogamente para encontrar la tasa de crecimiento en un modelo lineal (b6). Cabe destacar que las diferencias pueden ser reemplazadas por el símbolo delta (Δ) que simboliza la diferencia de un punto final y un punto inicial (b6). El delta representa una resta entre dos valores muy diferentes. Pero a medida que los valores para la resta se hacen más y más cercanos, (Δ) se reemplaza por (ẟ) que implica la existencia de una resta entre valores infinitamente cercanos entre sí (b7).

El modelo de crecimiento lineal nos otorga dos datos o fórmulas comunes a los demás modelos de crecimiento mas empleados, el exponencial y el logístico. El primero es la tasa de cambio (b7) que se define como el cambio de la población con respecto al cambio de tiempo a un nivel infinitesimal, y la otra es la fórmula para calcular el tamaño de la población para cualquier momento t (b4). Sin embargo otros modelos nos exigirán un mayor nivel matemático.

5.1.3 Diferentes formas de ver la constante r

La matematización de las poblaciones debe poder representar al organismo sin importar la especie de la que se está hablando como girasoles, elefantes o seres humanos. Las gráficas que se manejan siempre serán de número de individuos en el eje (Y) contra el tiempo en el eje (X). Cuando se realiza la gráfica en un sistema lineal aparece una variable denominada tasa de crecimiento de la población (r). La tasa de crecimiento a escala global está regulada por dos variables, los nacimientos por cada individuo  y las muertes por cada individuo. La relación se modelaría en base a la siguiente fórmula simple (b8).

Donde (a) representa la tasa de nacimientos y (b) la tasa de muertes. El problema es que, en la realidad la fórmula es expresada en términos un valor arbitrario de individuos, esto se hace dividiendo a y b en una constante de individuos llamados “per cápita”. A esa constante la llamaremos pC y la simbolizaremos de este modo (b9). La fórmula (b9) le da a la constante r su nombre, tasa de crecimiento per cápita.

Gráficas de crecimiento exponencial "naranja", tasa de nacimiento "azul claro = a" y tasa de muerte "azul oscuro = b". La población no cambia su tamaño cuando a = b, pero cuando hay una diferencia entre ambos valores la población cambia. si a > b la población crece; si a < b la población decrece.

En adición a las tasas de muerte y nacimiento existe otra variable que debe tenerse en cuenta a la hora de analizar la dinámica de poblaciones y es la dispersión. La dispersión se define como los movimientos de individuos con respecto a las fronteras del territorio. Si los individuos salen de la frontera la población  disminuye, pero si ingresan a las fronteras la población aumenta. La salida de individuos se denomina emigración y el ingreso se llama inmigración. Estas dos variables también afectan a la constante r. Si no existieran nacimientos o muertes el valor de “r” estaría dado por la siguiente expresión (b10). Donde “c” son los individuos inmigrantes y “d” los emigrantes. Si tenemos nacimientos y también muertes entonces la expresión de r se expresa como (b11). E igualmente podemos obtener la forma per cápita dividiendo entre un número de individuos determinado (b12).

La tasa de crecimiento intrínseca se define como la expresión de “r” máxima, es decir cuando la población se encuentra en condiciones ideales para su crecimiento. Estas condiciones son la suma de los ideales de las interacciones ecológicas. Por ejemplo las relaciones perjudiciales como depredación, parasitismo y competencia “interespecífica e intraespecífica” son de 0. Y las relaciones positivas como fuentes de alimentos y recursos abióticos son óptimas. En tal caso, la población crecerá a su máximo siguiendo un patrón exponencial mientras que las relaciones ecológicas estén a su máximo. La consecuencias del crecimiento exponencial ya han sido discutidas de forma extensa mediante la interpretación malthusiana.

Referencias básicas: (Belk & Maier, 2013; Hoefnagels, 2015; Mackean & Hayward, 2014; Mader & Windelspecht, 2015, 2018; Mader, 2010; K. A. Mason et al., 2014; Miller & Spoolman, 2009; Mittelbach, 2012; Molles, 2013; Rana, 2013; Reece et al., 2014; Sadava et al., 2014; Simon et al., 2013; Solomon et al., 2014; Starr et al., 2013)

5.2 Modelo geométrico


El modelo geométrico se obtuvo por métodos más empíricos, consta de las variables de tamaño poblacional del modelo anterior, pero cambia la constante r por la constante λ que representa la cantidad de crías promedio de una determinada población elevado al tiempo (b13). El problema con el modelo geométrico es que solo es aplicable a aquellas especies que se reproducen estacionalmente.

El modelo geométrico puede describirse como un modelo de crecimiento de equilibrio puntuado. La población se mantiene en un equilibrio relativo hasta la época de apareamiento cuando nacen las crías y mueren aquellos viejos o sin experiencia, aunque se puede notar una tendencia levemente exponencial, aunque la curva no sea continua. Sin embargo no todos los seres vivos son estacionales, las generaciones pueden sobrelaparse y en tal caso se hace necesario un modelo que represente tal modo de crecimiento poblacional.

Referencias básicas: (Belk & Maier, 2013; Hoefnagels, 2015; Mackean & Hayward, 2014; Mader & Windelspecht, 2015, 2018; Mader, 2010; K. A. Mason et al., 2014; Miller & Spoolman, 2009; Mittelbach, 2012; Molles, 2013; Rana, 2013; Reece et al., 2014; Sadava et al., 2014; Simon et al., 2013; Solomon et al., 2014; Starr et al., 2013)

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