martes, 27 de diciembre de 2016

12 CONVERSIÓN DE UNIDADES Y ANÁLISIS DIMENSIONAL

Manipular las diferentes unidades es de vital importancia al resolver los ejercicios de lápiz y papel. Existen dos tipos de unidades para manipular, aquellas que son proporcionales y las que no son proporcionales. Las unidades proporcionales pueden ser interconvertidas en diferentes sistemas por medio de factores de conversión o reglas de tres. 

Todas las modificaciones que emplean los prefijos del sistema métrico permiten su manipulación por medio de factores de conversión o reglas de tres basadas en notaciones científicas, para el caso de unidades de diferentes sistemas de medición se requiere encontrar la proporcionalidad básica en la literatura científica, ya sea en internet o en los libros de texto. Las unidades que no tienen una proporcionalidad clara dependen de otros sistemas de conversión, en este caso hablamos casi que de forma exclusiva de las unidades de temperatura, en este caso se emplean sumas y fórmulas no proporcionales para lograr la conversión.

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)

12.1 Estableciendo relaciones

Los factores de conversión se basan en la premisa de multiplicar (de allí la palabra factor) una cantidad por una proporción, de modo tal que, las unidades cambian pero la proporción nunca cambia. De hecho lo mismo pasa con la otra técnica de conversión llamada regla de tres, ambas requieren que el operario pueda espablecer relaciones de proporcionalidad a partir de una igualdad teórica.

El adecuado manejo de las proporciones es indispensable para el uso de los factores de conversión y reglas de tres. Las proporciones se obtienen de las relaciones entre dos diferentes unidades de una misma dimensión. Por ejemplo, la dimensión volumen puede expresarse en litros o en metros cúbicos. Pero, ¿cuál es la relación entre los dos? Y esa relación ¿Cómo puede ser expresada en términos de un factor de conversión?

La primera pregunta es sencilla, las relaciones se encuentran en la literatura en tablas en los libros o en internet. Es por ello que antes de sentarse a resolver ejercicios de física o química es indispensable tener a la mano las tablas con las relaciones de las unidades empleadas en el libro de estudio. En cuanto a la segunda pregunta, los factores de conversión se expresan como números fraccionarios, por cada relación se pueden escribir dos factores de conversión posibles.

La fórmula general sería la siguiente.

Este ejercicio es más formalmente definido como la capacidad de proponer relaciones de proporcionalidad. Una vez que ya sabemos proponer proporcionalidades a partir de las igualdades teóricas, lo siguiente es saber que hacer con una proporción, para poder encontrar un valor desconocido.


12.2 Regla de tres

En matemáticas específicamente en aritmética básica y álgebra elemental dada una ecuación entre dos fracciones o expresiones racionales, es posible realizar una multiplicación cruzada para simplificar la ecuación o para determinar el valor de una variable desconocida dados tres valores constantes. Bueno, eso es lo que dice la teoría, pero ¿Cómo la usamos?

Dos de las tres constantes que mencionamos anteriormente son en realidad una proporción conocida, en este sentido la regla de tres lo que busca es igualar dos proporciones, una conocida o teórica y otra desconocida en la cual tenemos un valor desconocido.

La fórmula general sería la siguiente.

En nuestro caso (a, b, c) son las magnitudes numéricas en cada relación, mientras que (u, v) son las unidades, y (x) es la incógnita. Como podemos ver, tenemos dos relaciones, una relación teórica conocida y otra desconocida. El punto con la regla de tres es la concordancia dimensional en la proporción, eso quiere decir que cuando proponemos las dos proporciones, ambas deben estar expresadas en las mismas dimensiones arriba y abajo tal como vemos en la fórmula (5). Una vez planteamos la igualdad de las dos proporciones solo se trata de despejar la magnitud desconocida y cancelar las unidades pertinentes.

Por ejemplo:


Las reglas de tres son útiles para cuando tenemos relaciones simples, pero en lo personal es una técnica sumamente inferior a su alternativa, el factor de conversión.

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)


12.3 Factor de conversión

El factor de conversión es una herramienta matemática para transformar unidades de medida conociendo un factor de proporcionalidad que es expresarlo como un número fraccionario o racional. Básicamente cumple la misma función de la regla de tres, pero es más rápido y permite en caminar varias operaciones en una sola línea de expresiones matemáticas, lo cual ahorra tiempo y disminuye la probabilidad de cometer errores.

Técnicamente el factor de conversión hace lo mismo que la regla de tres, y requiere del dominio de plantear proporciones, sin embargo las proporciones de un factor de conversión pueden hacerse en el camino. Por lo general un factor de conversión se piensa en términos de convertir la unidad (u) en la unidad (v). En este sentido al multiplicar un valor por la proporción se obtiene su valor en la otra unidad, y en este sentido la fracción de proporción es igual al factor de conversión.

La fórmula general seria la siguiente:

Donde (c u) es el dato que te dan para transformar o convertir, (a u = b v) es la igualdad teórica que encuentras en los libros o en Wikipedia. El factor de conversión puesto aquí se ve sencillo, pero en la practica puede generar bloqueos de razonamiento, por lo que proponemos un mecanismo mental para obtenerlo:

En este procedimiento iniciamos en (7.1) colocando el dato que nos dan multiplicado por una barra de fraccionario, en (7.2) debemos colocar la misma unidad que nos dan en el dato de inicio dividiendo, esto asegurará que la unidad que nos dan se cancele posteriormente, en (7.3) debemos colocar la unidad que nos están pidiendo, y finalmente en (8) colocamos las magnitudes de la proporción tal cual se plantean en la teoría.

Ejemplo:


Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)

12.4 Factor de conversión anidado

El factor de conversión anidado se emplea cuando es necesario hacer varias operaciones rápidamente, sean estas conversiones de unidades o procesos en relación al despeje de fórmulas de leyes físico-químicas. Aquí es donde se requiere del análisis dimensional, para mantener una coherencia entre los datos y los resultados de los ejercicios de lápiz y papel.

La principal ventaja del factor de conversión radica en su capacidad de anidamiento. Anidar en este caso significa que podemos hacer múltiples conversiones en un solo renglón. Los factores de conversión anidados se dan o cuando las relaciones que tenemos no son directas, o cuando tenemos que convertir más de una dimensión. El clásico es convertir días en segundos o viceversa. Estamos muy consciente de las equivalencias individuales, (A) 1 dias = 24 horas; (B)1 hora = 60 minutos; (C) 1 minuto = 60 segundos, pero no manejamos la relación directa de días a segundos.

En el siguiente ejemplo convertiremos 13,5 días en segundos:


Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)


12.5 Escalas de temperatura

Con el paso del tiempo han sido propuestas diversas escalas de temperatura: Fahrenheit, Kelvin, Rankine, Delisle, Newton, Réaumur, Rømer y Celsius. La mayoría de ellas han quedado obsoletas con la unificación de las unidades de medida por el Sistema Internacional de Pesas y Medidas. Aunque en el SI la unidad estándar es el Kelvin, esta unidad no es muy empleada fuera de los contextos científicos. En la práctica dos sistemas de medición de temperatura son los más empleados, en los países de tradición francesa y del viejo sistema métrico “ancestro del Sistema Internacional” la unidad de medida es el Celsius mejor conocido como centígrado. En los países de tradición del Imperio Británico la unidad es el Fahrenheit.

Por lo anterior la enseñanza clásica de la medida de temperatura se ha enfocado en la conversión entre estas tres escalas, y así lo haremos en el presente caso. Las escalas de temperatura poseen una proporcionalidad compleja, que no puede solucionarse con un factor de conversión simple, por lo que requeriremos de ecuaciones “fórmulas” para realizar la conversión.


Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012).

12.6 Análisis dimensional

En ingeniería y ciencias de la naturaleza, el análisis dimensional es la comparación de las relaciones entre diferentes cantidades físicas mediante la identificación de sus dimensiones fundamentales y sus correspondientes unidades distintivas, también involucra el rastreo de dichas unidades a través de los ejercicios de lápiz y papel. El análisis dimensional se encuentra fuertemente vinculado a la aplicación de los factores de conversión anidados.

La idea básica es que cualquier ecuación físicamente significativas, especialmente las denominadas Leyes de la Naturaleza deberán estar definida por las mismas unidades a ambos lados de la igualdad o desigualdad, esta propiedad se denomina Homogeneidad Dimensional. Percatarse de estoy es la labor fundamental del análisis dimensional, y se corresponde con la expresión de que las unidades deben corresponder con la variable que se está despejando al final de un problema de lápiz y papel. Por ejemplo, si estamos determinando la masa m de un objeto, la respuesta debe ser arrojada en kg o cualquier otra unidad de masa, si la respuesta nos da en s significa que hemos cometido un error algebraico, que puede involucrar también a las magnitudes.

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)

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