lunes, 21 de noviembre de 2016

11 EL MODELO ATÓMICO DE BOHR

El modelo atómico de Bohr fue propuesto en la primera mitad de la década de 1910 y su forma definitiva fue alcanzada en 1913 . El modelo de Bohr inició prácticamente de forma inmediata a la propuesta del modelo de Rutherford de 1911, y trató sobre la solución del problema del electrón. Como mencionamos anteriormente el modelo atómico de Rutherford se basó principalmente en la propuesta de la existencia de un núcleo superdenso de carga positiva y que portaba la mayor parte de la masa de un átomo, tanta densidad de masa provocaba un momento cinético colosal que le permitía dispersas las partículas alfa en el experimento de la doble rendija, sin embargo las partículas alfa no interactuaban de forma alguna con los electrones.

Los electrones poseen una masa irrisoria, comparados con un protón, por lo que su momento cinético era insignificante, como consecuencia el experimento de la lámina de oro no tiene nada que decir sobre ellos, y al mismo tiempo el modelo de Rutherford no los trató de forma precisa. En los dos años en que duro en vigencia el modelo de Rutherford una colección de datos raros que no concordaban con una visión clásica del átomo comenzaron a ser tenidos realmente en cuenta, y muchos de ellos trataban con la relación entre los electrones, los átoimos y algunos extraños comportamientos de la luz que describimos en el capítulo anterior.

El modelo atómico de Bohr dejaría intacta la idea del núcleo, y en consecuencia el modelo del átomo general se parte o bifurca en dos historias. La primera de estas historias fue el modelo del núcleo que tuvo su momento de más fama con el desarrollo de la tecnología nuclear, tema que ya trabajamos en capítulos anteriores. A continuación trabajaremos la segunda historia, los electrones, como estos dieron origen a una nueva física, y a una nueva química, por medio de la mecánica cuántica.

11.1 Entre el realismo y las matemáticas

Las bases de la mecánica cuántica yacen en el trabajo de Planck y su solución para el problema de la radiación del cuerpo negro, sin embargo no lo recordamos con tanto prestigio como a Bohr por una razón, Planck no creyó en la realidad de sus propios resultados. Debido al proceso que realizó para la obtención de la formula Planck pensaba que su trabajo solo era una ecuación descriptiva y no una ley profunda del universo que nos afectaría a todos.

La ley de Planck sobre la cuantización energética de la luz fue obtenida empíricamente, es decir una fórmula que encajara casi que a la fuerza con los resultados más que por un proceso deductivo como se había hecho en la mecánica clásica, pero funcionaba. Al momento en que Planck teme asumir alguna consecuencia física real de su fórmula su trabajo se detiene, ¿porque preguntarse sobre la consecuencia de algo que probablemente no existía? Sin embargo en 1905 Einstein interpretó el trabajo de Planck de forma realista y lo empleó para explicar el efecto fotoeléctrico. Esto nos muestra que aun los significados de los modelos empleados por las fuentes originales se van transformando a medida que la idea pasa de un autor a otro.

Einstein desarrollo más la idea y demostró que el efecto fotoeléctrico solo podía validarse si se asumía la idea de Planck como una realidad física, de aquí en delante la formula (1) pasaría de ser una ecuación para describir la energía almacenada en una nueva partícula llamada fotón.

Sin embargo estas ideas solo se habían relacionado a la luz, y el efecto fotoeléctrico también relacionaba a la electricidad y por lo tanto a los electrones que rodean a los átomos de un metal. Como consecuencia de esto, los electros se convirtieron en la otra parte de la historia que debería ser afectada por la ley de cuantización de Planck.

Referencias: (J. A. Bell, 2005; Brady & Humiston, 1986; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Jespersen et al., 2012b; Matamála, M., & Gonzalez, 1976; Petrucci et al., 2010; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012; Tipler & Mosca, 2008; Wade, 2012)

11.2 Un modelo histórico

Entra Bohr al rescate….
En 1913 en físico danés Niels H. D. Bohr propuso un modelo del átomo de hidrógeno que combinaba el trabajo de Planck, Einstein y Rutheford, y fue particularmente exitoso en predecir el espectro del hidrógeno.  Cuando Bohr se encontraba trabajando en el laboratorio de Rutherford durante los experimentos de Geiger y Marsden realizó la presunción de que el electrón de un átomo de hidrógeno se movía en una órbita alrededor del núcleo positivo, atraído por una fuerza análoga a la de la gravedad, pero completamente diferente denominada fuerza electrostática expresada por la fórmula de la ley de Coulomb.

Aunque en la actualidad el modelo atómico de Bohr es considerado obsoleto y ha sido reemplazado completamente por el modelo de probabilidades mecánico cuántico, es posible emplear el modelo atómico de Bohr para el desarrollo de conceptos como la cuantización de la energía y el movimiento del electrón, así como a la organización de los electrones alrededor del núcleo, aspecto fundamental en el entendimiento de las reacciones químicas. Es importante aclarar que el modelo de Bohr también es un modelo cuántico ya que introduce la cuantización de Planck, pero sería un paso intermedio del modelo moderno.

Como todo modelo físico, el modelo atómico de Bohr se basó en una serie de presuposiciones que permite la aplicación de 8una colección específica de fórmulas matemáticas:

11.2.1 Electrones

Los electrones son el foco del modelo de Bohr así como el núcleo es el foco del modelo del núcleo. En el modelo de Bohr el electrón se organiza en una órbita plana o bidimensional alrededor del núcleo atraído por una fuerza de atracción describiendo un movimiento circular uniforme.


11.2.2 Cuantización orbital

No todas las órbitas son permitidas, las órbitas describen estados cuantizados por números enteros simples n= 1, 2, 3, … Estas órbitas en contra de las leyes de la física clásica permanecerán sin emitir radiación electromagnética a menos que el electrón sufra una alteración energética. En otras palabras, a medida que el electrón órbita su núcleo no interactúa lumínicamente. 

11.2.3 El salto cuántico

Sin un electrón absorbe una determinada longitud de onda de luz este salta a un nivel superior de forma cuántica. El concepto del salto cuántico es similar al de la tele transportación de Son Goku. Una partícula clásica debe desplazarse por el espacio de forma continua de forma tal que pueda llegar desde el punto A hasta el punto B. Sin embargo la cuantización del desplazamiento de los electrones establece que un electrón deja de existir en una posición con radio r alrededor del núcleo y aparecerá de la nada existiendo nuevamente en una nueva posición (nr) donde (n) representa cualquiera de las órbitas superiores a la que estaba anteriormente. Por ejemplo, si el electrón se encontraba en n= 1 aparecerá en n = 2, 3, 4… o posiblemente escape del radio de atracción del núcleo transformándose en una corriente eléctrica. Si un electrón emite radiación electromagnética en forma de una longitud de onda de luz concreta, el electrón dejará de existir en la órbita en la que esté y aparecerá como de la nada en la nueva órbita. Los cambios de energía en los saltos cuánticos están dados por la ley de Plank.

Referencias: (J. A. Bell, 2005; Brady & Humiston, 1986; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Jespersen et al., 2012b; Matamála, M., & Gonzalez, 1976; Petrucci et al., 2010; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012; Tipler & Mosca, 2008; Wade, 2012)

11.3 Matemática del modelo atómico de Bohr

Estamos acostumbrados a ver el modelo atómico de Bohr como un modelo planetario, pero rara vez lo visualizamos en su forma verdadera, un conjunto de ecuaciones matemáticas que modelan situaciones idealizadas y que luego se comparan con fenómenos experimentales concretos. La física clásica había modelado desde hacía mucho tiempo cuerpos de órbitas circulares atraídos por fuerzas de campo como por ejemplo los planetas alrededor del Sol atraídos por la gravedad y mantenidos lejos de el en órbitas cuasi estacionarias gracias a su momento cinético. El físico Johanes Keppler observó y Einstein demostró que este tipo de órbitas podían ser círculos o elipses dependiendo de su lejanía con el Sol, pero matemáticamente las órbitas más fáciles de modelar eran las circulares. Por esta razón Bohr decidió a priori crear un modelo circular del electrón con un radio (r).

Adicionalmente si aplicáramos la ley de coulomb a un átomo de hidrógeno donde (q1) es la carga del protón y (q2) la carga del electrón, obtenemos que es la misma carga pero en sentido opuesto, la cual sería la carga del electrón (qe).

Referencias: (J. A. Bell, 2005; Brady & Humiston, 1986; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Jespersen et al., 2012b; Matamála, M., & Gonzalez, 1976; Petrucci et al., 2010; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012; Tipler & Mosca, 2008; Wade, 2012)


11.3.1 Rapidez y energía cinética

Con esto en mente debemos retornar al modelo. Debido a que Bohr asumió un modelo circular para simplificar, entonces eso significaba que era posible emplear formulas sencillas del sistema físico llamado movimiento circular uniforme, uno de los temas más elementales de física clásica que se enseña en cualquier colegio. Por ejemplo era posible igualar la fuerza de coulomb con la fuerza centrípeta donde la masa (m) será la masa del electrón (4a). Con la fórmula (4c) podemos encontrar valores, por ejemplo la rapidez del electrón (4b).

Con la fórmula anterior podemos despejar las variables necesarias para obtener la formula clásica de la energía cinética.

Referencias: (J. A. Bell, 2005; Brady & Humiston, 1986; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Jespersen et al., 2012b; Matamála, M., & Gonzalez, 1976; Petrucci et al., 2010; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012; Tipler & Mosca, 2008; Wade, 2012)

11.3.2 Constante de Dirac y momento.

El tamaño de una órbita permitida es una condición determinada por el momento angular. Las orbitas permitidas son aquellas cuyo momento angular es un valor cuantizados que depende de la variable de 6. En consecuencia, si tenemos la formula clásica del movimiento angular (6a) la masa será la masa del electrón y dicho valor será igual a h con barra multiplicado por n. (6) se conoce como la constante de Planck reducida, constante de Dirac o h con barra, su aparición se debe a la aplicación de las leyes del movimiento  circular uniforme, donde los valores dependen de la circunferencia completa o 2π.

La aplicación de la constante de Planck al momento cinético fue una apuesta, otro tuco matemático en palabras de Planck debido a que la constante de Planck posee unidades de momento cinético aunque había que hacer la corrección para transformarla en la constante de Dirac.

Referencias: (J. A. Bell, 2005; Brady & Humiston, 1986; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Jespersen et al., 2012b; Matamála, M., & Gonzalez, 1976; Petrucci et al., 2010; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012; Tipler & Mosca, 2008; Wade, 2012)

11.3.3 Radio de la órbita del electrón

El radio de la órbita de un electrón para cada nivel cuántico (n) se presenta por medio de la siguiente deducción.

Esta fórmula estaba basada en la presunción a priori de que (n) solo puede adquirir valores discretos o cuantizados sin intermedios, en potras palabras de la aplicación de la hipótesis de Planck. De esta forma la órbita con el radio más pequeño correspondiente a n = 1 o radio de Bohr es un valor que se puede calcular por medio de todas las constantes:

El radio de Bohr para n = 1 permite emplearlo como una constante para calcular el radio de cualquier órbita n conocida. Debido a que esto aplicaba precisamente para átomos con un electrón, naturalmente esto describiría el tamaño del átomo de hidrógeno y sería próximo al tamaño de cualquier ion con un solo electrón. Este modelo matemático permitía una comparación experimental, el radio del átomo de hidrógeno concordaba en el mismo orden de magnitud, lo cual fue un tremendo triunfo de su aparato matemático, pero eso no sería todo.

Referencias: (J. A. Bell, 2005; Brady & Humiston, 1986; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Jespersen et al., 2012b; Matamála, M., & Gonzalez, 1976; Petrucci et al., 2010; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012; Tipler & Mosca, 2008; Wade, 2012)

11.3.4 Cambio de energía 

El cambio de energía entre dos niveles está dado por la hipótesis de Planck


11.3.5 Energía del electrón

La energía total del electrón es la energía necesaria para desplazarlo de su órbita, esta es igual a su energía cinética con signo negativo.


11.3.6 Energia de las órbitas permitidas



11.3.7 Deducción de la constante de Rydberg



La fórmula (10f) presenta una similitud con la fórmula de Rydberg que analizamos en capítulos anteriores.

De este modo una constante que había sido completamente empírica, es decir basada en datos experimentales y un truco matemático en si misma, a ser una constante que dependía de entidades reales como la masa del electrón, su carga y otras constantes universales. El hecho mismo que se deba emplear la masa y la carga del electrón implicaban que todo el trabajo que se venía haciendo desde Balmer no era una entelequia, sino que tenía que ver con entidades físicas que existían realmente.
Cuando Bohr reemplazó sus datos y los comparó con los experimentales que ya se habían realizado años antes la coincidencia fue más que asombrosa. Empleando las palabras del documental el Universo Mecánico, los físicos se vieron obligados a aceptar esta batería de fórmulas como descriptoras de una realidad, no porque fueran algo fácil de aceptar, sino porque la coincidencia entre expectativa matemática y medición experimental era algo más que evidente.

Referencias: (J. A. Bell, 2005; Brady & Humiston, 1986; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Jespersen et al., 2012b; Matamála, M., & Gonzalez, 1976; Petrucci et al., 2010; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012; Tipler & Mosca, 2008; Wade, 2012)

11.3.8 Energía o nivel fundamental

Con la fórmula de la energía de cada nivel es posible calcular la energía de n = 1 y a partir de allí la de cualquier nivel.

11.3.9 Efecto del número atómico

Bohr extendió su modelo del átomo de hidrógeno, pero no del modo en que generalmente lo aplicamos en los ejercicios de lápiz y papel. En la extensión de Bohr lo que se buscaba era modelar elementos con un solo electrón, lo cual representaba a los isótopos del hidrogeno y iones positivos con un solo electrón como el helio(1+), el litio(2+) o el berilio(3+), los cuales se suponía que debían existir en los núcleos atómicos en estados de plasma. Bohr demostró que muchas líneas misteriosas de Fraunhofer no representaban al hidrógeno únicamente sino a otros elementos como el helio(1+). En general el número de protones en el núcleo se denomina número atómico Z. Bohr extendió el radio atómico de un átomo mediante la fórmula:


Referencias: (J. A. Bell, 2005; Brady & Humiston, 1986; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Jespersen et al., 2012b; Matamála, M., & Gonzalez, 1976; Petrucci et al., 2010; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012; Tipler & Mosca, 2008; Wade, 2012)

11.4 El primer número cuántico, nivel

El logro de Bohr fue enorme; sugería que la cuantización de las energías de los electrones en átomos era una propiedad fundamental de estos. Sin embargo las fórmulas matemáticas son muy difíciles de diferir. El esquema del átomo de Bohr representa un diagrama planetario con órbitas bidimensionales. Si generáramos un corte vertical de las órbitas e ignoramos al núcleo obtenemos el típico esquema de niveles energéticos

Diagrama de niveles energéticos calculados por Bohr para átomos mono-electrónicos, como el hidrógeno o los iones de helio(1+) o litio(2+). El nivel E1 también es conocido como nivel fundamental (ground state), de allí en adelante cada nivel posee cada vez más y más energía.

Cada línea  o nivel indica la energía relativa de un electrón dentro del átomo, justo como los otros diagramas de energía que se han utilizado. Se escogen como punto de partida aquel de menor energía (E1).

Los niveles de energía son alcanzados por los electrones a medida que absorben ciertas cantidades cuantizadas, hasta  llegar a un punto tan elevado que no puede ser retenido por el núcleo. Si un electrón recibe esta cantidad de energía, se separa del átomo original, y por lo tanto se ioniza. La pérdida de un electrón deja al ion con una carga positiva neta. 

Si un electrón absorbe un cuanto de energía de la longitud de onda correcta, se excita y sube de nivel. Si la energía es poca solo puede elevarse hasta el nivel inmediatamente siguiente, como en este caso, el electrón absorbe un fotón "cuanto" y salta desde E1 a E2 simbolizado del siguiente modo(E1 - E2)

Si un electrón absorbe un cuanto de energía de la longitud de onda correcta, se excita y sube de nivel. Si la energía es alta, el electrón puede saltar hasta niveles más elevados. 

Si un electrón absorbe un cuanto de energía de la longitud de onda correcta, se excita y sube de nivel. Si la energía es demasiada, el electrón cruza todos los niveles del átomo y es liberado de la influencia de este, es decir, el átomo pierde un electrón. A este proceso se le denomina ionización, y a los átomos con electrones de más o de menos se les denomina iones. 

En átomos multi-electrónicos, se puede perder más de un electrón de la misma manera; con cada pérdida se incrementa una carga positiva neta más. Nótese como la distancia entre los niveles de energía se hace cada vez menor a medida que la energía se aproxima al límite de ionización.


Si un electrón emite un cuanto de energía de la longitud de onda correcta, pierde energía y baja de nivel. Si la energía es mínima, salta al nivel inmediatamente inferior


Si el electrón permanece en un nivel excitado aún puede perder un cuanto de energía y seguir descendiendo hasta el nivel fundamental.

Si un electrón emite un cuanto de energía de la longitud de onda correcta, pierde energía y baja de nivel. Si la energía es suficiente "igual a la que absorbió en primera instancia", salta al nivel fundamental.

La menor energía total de un átomo se denomina estado fundamental, el nivel E1. Cuando un electrón del átomo capta la energía adecuada para estar en cualquiera de los niveles de mayor energía, por ejemplo, hasta E3, se dice que el átomo está en estado excitado y que el electrón ha sido excitado.

Hay dos formas de volver al estado fundamental. Se puede emitir un fotón de energía igual a E3 – E1 " o se puede emitir un fotón de energía E3 – E2 y después un segundo fotón cuya energía sea E2 – E1. En cada caso, sólo se pueden emitir energías específicas que corresponderán a las longitudes de onda de la luz observada. Así es como el modelo cuántico de electrones en átomos justifica el hecho de que los átomos excitados sólo emiten luz a unas longitudes de onda muy concretas.

Una idea básica a extraer de esta discusión es que, cuando los electrones con una energía elevada en un átomo o en un ion vuelven a niveles de energía menores, la energía emitida tiene forma de luz o de radiaciones electromagnéticas en general. Se genera una onda electromagnética a partir de la diferencia de energía entre dos niveles de energía. Por el contrario, los fotones de una onda luminosa pueden transferir energía al electrón de un átomo solo cuando la energía del fotón sea exactamente igual a la diferencia de energía entre los dos niveles energéticos del electrón.

Este detalle explica por ejemplo la banda de absorción y de emisión del sodio. Cuando el Sodio absorbe energía, el espectro se presenta como una banda negra sobre un fondo amarillo “en el Sol por lo menos”, mientras que cuando el sodio está puro y emite energía se presenta una banda amarilla sobre un fondo negro.

Referencias: (Bell, 2005; Brady & Humiston, 1986; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Jespersen et al., 2012b; Matamála, M., & Gonzalez, 1976; Petrucci et al., 2010; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012; Tipler & Mosca, 2008; Wade, 2012)


11.5 El modelo atómico de Bohr para dummies

Entonces, hemos resuelto el problema básicamente negando a la física mecánica, los electrones no se comportan de manera mecánica es decir continua, se comportan de manera discreta, de manera cuántica, y es por ello que estos estudios dieron lugar a una rama completamente nueva de la física y química teóricas, la física cuántica y la química cuántica, ¡felicidades, han estudiado física cuántica durante un buen rato en esta discusión!

Ahora, con la explicación podemos elaborar un nuevo modelo. Cada nivel E del diagrama de energía de electrones en el modelo atómico se lo asimila como una ORBITA. Las orbitas son cuánticas, es decir son fijas, los electrones rotan por las orbitas. Si el electrón absorbe energía este salta al siguiente nivel.

Las órbitas son las representaciones de los niveles (E) calculados por Bohr, la primera órbita, la más cercana al centro no es otra que E1 o el nivel fundamental, la siguiente órbita es E2 y así sucesivamente. Como particularidades del modelo podemos citar que a pesar de iniciar con la cuantización, aún se retienen elementos de una física clásica y continua, por ejemplo, las órbitas son circulares, como un "riel" mientras que el electrón siempre es una "partícula" de posición y dirección teóricamente conocibles.

Claro, había problemas, en especial, los únicos átomos analizados bajo este sistema fueron átomos mono-electrónicos “átomos con un solo electrón”. 

Las orbitas como representaciones de los niveles calculados por Bohr para los átomos mono-electrónicos "los colores son netamente didácticos" ¿Qué pasaría si se tienen más electrones? Una respuesta sería, simplemente extrapolar el modelo, aunque, como en muchas extrapolaciones, existen peros. El primero y más fundamental era que las ecuaciones de Bohr solo tomaban en cuenta un solo electrón.


Referencias: (Bell, 2005; Brady & Humiston, 1986; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Jespersen et al., 2012b; Matamála, M., & Gonzalez, 1976; Petrucci et al., 2010; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012; Tipler & Mosca, 2008; Wade, 2012)

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