viernes, 7 de octubre de 2016

5 PROBABILIDAD 1, DEFINICIONES BÁSICAS

Resulta extraño como la gente niega la presencia del azar en la biología cuando este se inmiscuye a tantos niveles y procesos. Y eso es lo que nos trae el día de hoy a este tema. Mendel describió sus resultados en términos del azar y su medida por medio de probabilidades. En otras palabras, el funcionamiento matemático de la genética de Mendel toma en cuenta fenómenos azarosos Por lo anterior, para matematizar correctamente el trabajo de Mendel primero conoceremos las definiciones básicas de azar, probabilidad y estadística, y luego procederemos a repasar las herramientas matemáticas básicas empleando un modelo experimental.

El estudio de las probabilidades abarca tres definiciones fundamentales:

1- Azar: Falta de predictibilidad de un evento dado a partir de una variedad de eventos posibles.
2- Probabilidad: Una medida de que un evento aleatorio se dé, o no se dé. Las probabilidades tienen diferentes modos de expresión matemático, pero los casos comunes son: radios, fracciones, frecuencias y porcentajes.
3- Estadística: Es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las probabilidades y del azar. Porque como siempre digo, el azar no es un chiste cósmico, el azar puede ser descrito hasta cierto punto de manera matemática.

La probabilidad es un tema implícito a la hora de estudiar la genética clásica. Antes que nada, es importante resaltar que aunque la mayoría de los conceptos biológicos en los exámenes de estado no necesitan ser memorizados ya que aparecen en textos de apoyo, en otras palabras para encontrar la respuesta solo hay que leer analíticamente, pero en la genética no sucede lo mismo. En los exámenes de estado aparecen ejercicios de genética clásica y se asume que el estudiante es capaz de resolver estos ejercicios sin la necesidad de una calculadora. Para esto es necesario que el estudiante sepa manipular números fraccionarios.

Referencias generales: (McDonald, 2015)


5.1 Modelos estadísticos básicos.

Debido a que históricamente la estadística se diseñó para ser aplicada a los juegos de azar por algunos tahúres y ludópatas que casualmente resultaron ser matemáticos, emplearemos primero los modelos de la moneda y el dado para entender algunos conceptos clave de la estadística.


Existe otro modelo simple y bastante antiguo para aplicar los modelos de probabilidad y estos son los dados. De hecho es más que evidente que los primeros estudiosos de la estadística debieron aplicar sus conclusiones a los juegos de azar que empleaban dados.

Existen varios tipos de dados por ejemplo los de 4 caras, los de 6 caras, los de 8 caras, los de 12 caras y los de 100 caras. A medida que se incrementa la cantidad de caras el sistema de estudio se hace más complejo. Otra forma de hacer más complejo el sistema de estudio es analizando tiradas simultáneas de dos o más dados.

5.2 Expresando una probabilidad

Las probabilidades se simbolizan analíticamente con el símbolo (P) mayúscula en cursiva y se emplean subíndices para indicar el símbolo de evento que está ocurriendo (1). Numéricamente las probabilidades pueden expresarse de cuatro modos. Sin embargo antes de introducir esos modos debemos aclarar antes que las probabilidades obedecen a modelos de estudio que representan fenómenos aleatorios. 

Muchos valores numéricos de la probabilidad van a emplear fracciones, y por lo tanto resulta conveniente recordar las operaciones básicas con fraccionarios.

5.2.1 Operaciones básicas con fraccionarios

Los números fraccionarios o racionales son solo otra forma de expresar una división (2, 3, 4) en la cual el divisor o denominador no puede ser cero. Un solo número fraccionario puede expresarse de varias formas, lo cual incluye diferentes valores en la división o de forma decimal (5).

Las operaciones más complicadas con los fraccionarios son la suma y la resta (6, 7) mientras que la multiplicación y la división son relativamente simples (8, 9).

5.2.2 Condiciones básicas para expresar una probabilidad

Para expresar numéricamente una probabilidad es necesario identificar tres datos básicos:

1- Posibles estados del sistema: representa todas las posibles respuestas o estados que puede asumir el sistema de estudio, por ejemplo en un dado de 6 caras, los posibles estados del sistema son 6; pero en un dado de 100 caras los posibles estados del sistema son 100. Simbolizaremos esto como N mayúscula que representa a todos los estados del sistema (11).

2- Respuestas a favor o respuestas buscadas: representaría la probabilidad esperada o favorable, literalmente es una apuesta. Si esperas que de las seis caras aparezca una, esta cara especifica será tu respuesta a favor. Simbolizaremos eso con el símbolo n(x) que significa la cantidad de veces que el sistema repite el estado buscado “x” (10).

3- Respuestas en contra o respuestas no buscadas: representan los estados del sistema que no esperas obtener (12). Este valor se obtiene restando los estados totales menos los estados buscados (13).

Adicionalmente hay que destacar que las probabilidades de que cualquiera de las caras de yun dado o moneda aparezcan dependerán de la física del objeto. Si asumimos azar perfecto las probabilidades deben ser las mismas, de lo contrario tendremos sesgos.

5.2.3 Probabilidades teóricas

Las probabilidades pueden dividirse en dos categorías, las probabilidades que se obtienen por medio de razonamientos analíticos sobre las posibles consecuencias o estados de un sistema, a las cuales denominaremos probabilidades teóricas.   La segunda categoría son las probabilidades experimentales que veremos posteriormente. Aunque ambas se expresan con valores numéricos análogos, es importante distinguir el valor teórico del experimental para poder aplicar varios instrumentos estadísticos de forma adecuada.

5.2.3.1 Radios

Los radios son una forma común en la que se manifiesta una probabilidad, y es muy empleada en los juegos de azar. Los radios se definen como estados del sistema esperados contra estados del sistema no esperados (14). Adicionalmente mostramos los radios teóricos para varios sistemas asumiendo siempre un azar perfecto entre cada una de las caras.

Evidentemente en la expresión de estados del sistema buscado n(x) se reemplaza la (x) por el estado buscado que puede ser: en la moneda la cara (15), en el dado de seis caras la cara numero dos (16) o en el dado de doce caras la cara numero dos (17).

Los radios también pueden emplearse para ver la probabilidad de todos los fenómenos de un sistema. Por ejemplo, en un dado de seis caras PERFECTO se supone teóricamente que el radio de las 6 cares es el siguiente.

5.2.3.2 Fracciones y frecuencias

Una fracción sirve para representar una probabilidad de forma tal que se coloca la cantidad de estados del sistema buscados dividido entre el total de eventos (19). La frecuencia va a ser el mismo valor pero expresado de manera decimal, en otras palabras, resolviendo la división. En ambos casos podemos emplear el símbolo de variable P(x).


5.2.3.3 Porcentajes

Los porcentajes son una forma de expresar una probabilidad más fácil de entender que una frecuencia, pero su f´+fórmula simplemente es modificar la expresión de probabilidad en fracción o frecuencia mediante una simple multiplicación por 100.

5.2.4 Probabilidades experimentales

Las probabilidades experimentales, observadas o reales se obtienen a partir de datos medidos, y aunque las fórmulas (14, 19, 23) siguen siendo válidas, lo más conveniente es identificar si se está trabajando con una probabilidad teórica (27) o con una probabilidad experimental (28) empleando subíndices.

Los resultados experimentales no son tan limpios, y se diferencias de los teóricos por otro detalle, generalmente una probabilidad experimental es el resultado de N repeticiones de un evento, mientras que una probabilidad teórica solo toma en cuenta N posibilidades de un evento.

5.2.4.1 Radios experimentales

Dado que las expresiones experimentales refieren a una serie de datos, debemos trabajar esto con un ejemplo: Un dado de 6 caras fue tirado 600 veces, los resultados son los siguientes:
Cara 1: 97
Cara 2: 103
Cara 3: 98
Cara 4: 102
Cara 5: 101
Cara 6: 99

Por lo tanto el radio experimental se expresa de la siguiente forma.

Lo cual sigue siendo un resultado bastante bueno. Haga la prueba un su dado favorito, tírelo 600 veces y observe que tanto se acerca a las proporciones teóricas de un dado perfecto.

5.2.4.2 Fracciones, frecuencias y porcentajes experimentales

Siguiendo el ejemplo anterior tenemos los siguientes resultados

En (30) realizamos la división para obtener frecuencias y porcentajes con una cantidad de cifras significativas igual a dos. Es importante que todas las respuestas se redondeen a la misma cantidad de cifras significativas y con la misma regla de redondeo, de esta forma se pueden obtener una serie de relaciones de comprobación útiles.

La suma de las observaciones individuales debe ser igual a la cantidad total de eventos (31); la división de la suma de observaciones de cada caso entre la cantidad total de eventos debe ser igual a 1, de igual forma la suma de las probabilidades en fracciones o frecuencias debe dar como resultado 1  (32); y finalmente la suma de probabilidades en porcentaje debe dar igual a 100, lo mismo que el producto de 100 por la división entre la suma de observaciones de cada caso entre la cantidad total de eventos (33).

Estas relaciones son relevantes ya que te ayudan a determinar si has colocado adecuadamente los datos en las tablas para realizar los procesos estadísticos.

Referencias generales: (McDonald, 2015)


5.3 Cantidades a partir de probabilidades

Ya hemos visto como expresar en términos de probabilidad eventos  teóricos y eventos experimentales, pero ahora la pregunta es si necesitamos convertir una probabilidad a una cantidad numérica de eventos.

Para hacerlo simplemente tomamos la definición (16) y despejamos el número de un evento específico. Al hacerlo obtenemos la definición (34) que sirve tanto para probabilidades teóricas como para probabilidades experimentales.


Referencias generales: (McDonald, 2015)

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