miércoles, 26 de octubre de 2016

1 GENÉTICA CLÁSICA Y ÁLGEBRA BÁSICA


La genética clásica como vimos anteriormente es el periodo en que se reinterpreta el trabajo de Mendel a la luz de una actitud nueva de las matemáticas en la biología. De hecho, los cruces  que tradicionalmente adjudicamos a Mendel son matemáticamente interpretados bajos las conclusiones de Carl Correns. Esta interpretación se basará en la noción matemática (Reed, 1997).

Esta tercera gran sección de genética clásica estará dedicada exclusivamente a la matemática de la genética clásica, la aplicación de principios sencillos del algebra a la resolución de los problemas clásicos de la genética y especialmente a la superación del cuadro de Punnett como estándar de trabajo de los ejercicios de lápiz y papel de la genética clásica. Tradicionalmente el modelo que empleamos es el cuadro de Punnett, sin embargo el cuadro de Punnett no es más que una herramienta matemática para no matemáticos que no saben ejecutar una factorización algebraica simple,  llamada el cuadrado de la suma o más comúnmente cuadrado de un binomio (Baldor, 2008; Lial, Hornsby, & McGinnis, 2012). 

1.1 Cuadrado de una suma

El cuadro de Punnett es en realidad una receta que facilita la factorización de los binomios cuadrados perfectos. Un ejemplo explicito es el cruce monohíbrido de dos heterocigotos.

De lo anterior resulta más que evidente que todas las herramientas que aprendemos en los cursos de algebra sobre factorización de binomios y de factores comunes aplican al procesamiento matemático de un problema de lápiz y papel de genética, lo único que cambia son los símbolos empleados.

1.2 El dihíbrido

Si el cruce monohíbrido puede resumirse al estándar del cuadrado de un binomio en suma, entonces del cruce dihíbrido también debería modelarse igual. Retomando el problema matemático anterior, el caso más complejo siempre habrá de ser el doble heterocigoto donde los términos a elevarse al cuadrado son un binomio, mientras que en otros casos la complejidad siempre será reducida a un caso de factores comunes.

Cuando realizamos la resolución del dihíbrido distribuyendo los dos genes independientemente y luego reuniendo los dos resultados para obtener los genotipos dihíbrido de la F1 nos damos cuenta que llegamos a un punto en que tratamos con un problema semejante a un trinomio cuadrado, aunque no es un trinomio.

El hecho de no ser un trinomio nos impide emplear su sistema de factorización, pero para este punto lo que en verdad nos interesa es obtener los coeficientes implicados que si van a seguir las reglas de factorización simples.

El cuadrado de este trinomio en concreto es más sencillo, si asumimos el trinomio de la forma (a + b + c) entonces los términos (b) y (c) son = 1. Esto nos permite plantear una expansión algebraica semejante a los triángulos de pascal.

Hemos obtenido las nueve proporciones del cruce dihíbrido.

1.3 El trihíbrido y tetrahíbrido

Digamos que queremos resolver el cruce trihíbrido de la forma AaBbCc x AaBbCc, es decir el triple heterocigoto, en un cuadro de Punnett nos saldría una matriz de 64 celdas que no es práctica, e incluso el método de las cadenas de Markov resulta poco viable. 

Sin embargo con el método algebraico resulta viable. Si asumimos que los tres genes no están ligados entonces la ley de distribución independiente nos permite resolverlos parcialmente como tres monohíbridos independientes, llegando al siguiente punto en la F1 parcial.

Esto implica que el exponente del trinomio indicará el nivel de cruce que estamos trabajando, siendo 1 un monohíbrido, 2 un dihíbrido, 3 un trihíbrido como en este caso, 4 un tetrahíbrido y así sucesivamente, siempre y cuando estemos trabajando con un sistema de genes no ligado donde podamos aplicar la ley de la distribución independiente.

Para obtener las diferentes proporciones vamos a emplear una propiedad de la factorización y es el factor común, como ya sabemos la respuesta del cuadrado podemos ejecutar el siguiente razonamiento.

Al final del punto anterior nos damos cuenta que la cantidad de genotipos del cruce trihíbrido es de 9 X 3, en otras palabras 27 genotipos diferentes que deben ser identificados en un cuadro de Punnett de forma independiente y sumados sus respectivas combinaciones.

En nuestro caso se trataría de multiplicar los coeficientes y las combinaciones respectivas, lo cual es laborioso, pero no tan problemático como hacerlo por el método de Punnett. Ahora bien debido a que la resolución de la factorización del cubo del trihíbrido nos va a dar 27 términos deberemos expresar las respuestas en tres líneas, la primera y la segunda son iguales en términos de sus coeficientes, mientras que la segunda irá multiplicada por 2.

Como se pueden dar cuenta se sigue manteniendo un patrón. La primera y segunda línea son iguales a la respuesta original del dihíbrido, mientras que la segunda línea se multiplica por dos.

Con esto en mente entonces las proporciones del tetrahíbrido con cuádruple heterocigoto deberá ser de 6 líneas, las primeras tres y las últimas tres iguales al anterior, mientras que las tres del medio irían multiplicadas por dos. Evidentemente es raro que se encuentren casos superiores al trihíbrido, pero es bueno saber estas relaciones para poder corroborar rápidamente sus respuestas en un ejercicio de lápiz y papel.


1.4 Factorización de un sistema multialélico

La factorización de un sistema multialélico es inviable cuando hablamos de cruces entre individuos, pero no cuando hablamos de poblaciones y deseamos saber cuáles serán los posibles genpotipos de la población en tperminos deo conocimiento de las cantidades de cada uno de los alelos presentes. 

En tal caso podemos evolucionar del binomio monohibrido a tronomios, tetranomios y más dependiendo de la cantidad de alelos presentes. En este orden de ideas aunque el procedimiento matemático es semejante, las definiciones son completamente diferentes. Por ejemplo, los terminos ( A + a ) ya no significan gametos sino las cantidades respectivas de cada alelo en la población, mientras que ( A + a ) ( A + a ) nos dará las proporciones esperadas de cada uno de los genotipos en la población así como sus diversos tipos.

En ese orden de ideas si queremos saber cuáles son los genotipos esperados en una población para un gen polimórfico de tres alelos entonces procederemos del siguiente modo.

En consecuencia, la resolución de este problema es el cuadrado de un trinomio. 

1.5 Expansión polinómica

Bueno, llegados a este punto nos damos cuenta que podemos llegar a tener combinaciones múltiples, ¿el álgebra tiene una respuesta para casos de ese estilo? Claro que sí, pero eso no lo vemos en el colegio. El método se denomina expansión polinómica. Sin embargo asumo que la expansión polinómica le interesa solo a los estudiantes que estén ingresando a los problemas de dinámica de poblaciones. 

En la siguiente página podrán ver algunos casos de expansiones polinómicas complejas en caso de tener en sus manos sistemas complejos de varios genes y más de dos alelos; (Ward, n.d.) Enlace.

1.6 Consideraciones finales

Los siguientes casos de la genética clásica regularmente incluyen alteraciones en las relaciones de dominancia y recesividad, por lo que se trabaja indudablemente con sistemas monohíbridos y dihíbridos, por lo que las técnicas básicas de factorización que aprendimos en el colegio serán más que suficiente, por lo que no tendremos que echarle mano a la tenebrosa expansión polinómica.


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