miércoles, 25 de noviembre de 2015

11 CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Cuando realizas una media, empleas algún tipo de instrumento de medición. Por ejemplo, pues emplear metro para medir una altura, una balanza para determinar un peso, a un termómetro para determinar una temperatura. Por lo general los valores medidos directamente deben ser empleados in cálculos matemáticos que no siempre arrojan números enteros. Para poder controlar la cantidad de decimales obtenidos en dichos cálculos se emplea una serie de reglas que se denominan en su conjunto como cifras significativas. Las cifras significativas son una serie de valores que portan un significado verdadero al interior del número. Antes de aprender a operar empleando las cifras significativas, es esencial aprender a reconocerlas en diferentes tipos de números.

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)


11.1 Identificación de cifras significativas

11.1.1 Números enteros

Todos los números enteros son cifras significativas aunque sean ceros, por ejemplo el numero 50 poseen dos cifras significativas, el 100 posee tres cifras significativas, el 1000 posee cuatro cifras significativas y así sucesivamente. Esto se cumple a menos que sea el resultado de una operación, pues de ser así muchos de esos ceros no son significativos y hay que aplicar las siguientes reglas.

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)

11.1.2 Ceros intermedios

Los ceros intermedios cuentan como cifra significativa, no solo cuando hacen parte de un entero como en 101 o en 208, sino también cuando hacen parte de una expresión decimal. Por ejemplo 5,008 posee cuatro cifras significativas.

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)

11.1.3 Ceros a la derecha

Si hacen parte de un entero siempre son significativos, si se encuentran a la derecha de una coma solo son significativos si el contexto o del problema o del ejercicio o así lo determinan.

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)


11.1.4 Notación científica

Aunque las notaciones científicas expresan valores enteros muy grandes, o una enorme cantidad y se los intermedios, generalmente se asume como con significado solo los valores diferentes de cero que se expresan a la izquierda la notación, por ejemplo en 6,022E23 se tiene un valor entero enorme, pero con significado sólo hay cuatro valores. Las siguientes reglas están relacionadas con la presente.

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)


11.1.5 Muchos ceros a la izquierda

Cuando están presentes muchos ceros a la izquierda, éstos carecen del significado por ejemplo 0,0003 solo tiene una cifra significativa. La definición de muchos es ambigua en este caso, la mejor guía es si se trata de un dato o del resultado de una operación matemática. Si se trata de un dato el valor se toma con todos sus números significantes, pero si el valor es resultado de una operación, los ceros a la izquierda se dividirán como con significado o sin significado según las reglas de operación que veremos posteriormente.

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)

11.1.6 Muchos ceros a la derecha

Cuando están presentes muchos ceros a la derecha, esos carecen de significado por ejemplo 1000 sólo tendría unas cifra significativa. La definición de muchos es ambigua en este caso, la mejor guía es si se trata de un dato o del resultado de una operación matemática. Si se trata de un dato el valor se toma con todos sus números significantes, pero si el valor es resultado de una operación, los ceros a la derecha se dividirán como con significado o sin significado según las reglas de operación que veremos posteriormente.

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)


11.1.7 Contexto

Tenga en cuenta que valores como 1000 puede tener una o cuatro cifras significativas, la determinación de esto va a defender enteramente del contexto del problema o el ejercicio que se esté trabajando. Básicamente la guía es si se trata de un dato o si se trata del resultado de una operación, aunque también dependerá de la sensibilidad de los instrumentos, generalmente expresamos el resultado en términos de las cifras significativas que tenga el instrumento menos sensible.

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)

11.2 Operando con cifras significativas

11.2.1 Redondeo

Cuando eliminadas las cifras decimales para obtener las cifras significativas, te ves obligado a realizar la operación de redondeo. La regla redondeo es la siguiente, se tiene que identificar la primer cifras sin significado a la derecha, si esta cifra es 4 o menos entonces escribe el número hasta la última cifra significativa sin alterarlo; si y la cifra no significativa es igual a 5 o más entonces la primera cifra significativa aumenta en una unidad.

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)

11.2.2 Sumas y restas

Solo se tienen en cuenta las Cifras significativas decimales, las cuales se encuentran a la derecha de la coma decimal. La respuesta tiene la cantidad de decimales igual al integrante de la operación con la MENOR cantidad de decimales.

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)


11.2.3 Multiplicaciones y divisiones

Se toman en cuenta TODAS las cifras significativas sin importar la posición de la coma. La cantidad de cifras significativas es igual al miembro de la operación con menos cifras significativas. El punto con la respuesta es que podemos tener varias opciones posibles, que la coma se mantenga en su lugar, que la coma se mueva a la derecha o que la coma se mueva a la izquierda. Por tal razón explicaremos en detalle este caso, que de hecho es el más común por medio de la presentación en youtube.

La potenciación y la radicación pueden interpretarse como multiplicaciones o divisiones abreviadas y por lo tanto siguen la misma regla.

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)


11.2.4 Operaciones encadenadas.

Se opera de corrido y solo se hacen las aproximaciones cuando se da la respuesta final, las respuestas intermedias se operan con todos los decimales de ser posible. En este sentido lo mas común es ejecutar factores de conversión anidados, para así hacer todas las operaciones aritméticas de inmediato.

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)

11.2.5 Notación científica

En una notación científica las cifras significativas son iguales al coeficiente significativo, la base y la potencia no son significativos y se operan por aparte. 

Referencias generales: (Bell, 2005; Chang & Overby, 2011; Chang, 2006; Ebbing & Gammon, 2008; Serway & Jewett, 2010, 2014; Timberlake, 2015; Tipler & Llewellyn, 2012)


11.3 Acumulación de incertidumbres

En el capítulo anterior aprendimos a obtener las incertidumbres, las cuales son dos principalmente, las incertidumbres no aleatorias obtenidas ya sea por errores de calibración o por sensibilidad del instrumento, que en su conjunto denominaremos como incertidumbres no aleatorias, y las incertidumbres aleatorias debidas a los errores aleatorios intrínsecos al proceso humano de medición. Una vez que reportamos estas incertidumbres en tablas de datos, muchas veces debemos hacer transformaciones matemáticas, en otras palabras debemos hacer operaciones, y al hacer operaciones es necesario tener en cuenta las incertidumbres que obtuvimos anteriormente.

11.3.1 Sumas y restas


La fórmula anterior nos describe que la incertidumbre se expresa como ±δx y se lee como “más o menos un pequeño cambio”. La suma no aleatoria se da para intervalos de confianza que no involucran eventos aleatorios, lo cual en la práctica solo se da para los límites de sensibilidad de los instrumentos. Mientras que la suma aleatoria que es más compleja involucra a las desviaciones estándar. 

11.3.2 Multiplicaciones y divisiones


Aunque aquí presentamos la forma aleatoria y no aleatoria, en la práctica la mas empleada seria la aleatoria donde ±δx = ±s es decir, donde la incertidumbre es la desviación estándar. A partir de este punto las demás fórmulas solo serán expresadas en sus formas aleatorias.

11.3.3 Potencias y raíces


Las raíces en este caso se operan como una potencia, donde n para la raíz cuadrada es (1/2), para la raíz cúbica sería (1/3), para la raíz cuarta sería (1/4) y así sucesivamente.

11.3.4 Logaritmos



Los logaritmos operan magnitudes no dimensionales siempre, por lo que el cálculo de su incertidumbre es adimensional.


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