domingo, 11 de octubre de 2015

7 HERRAMIENTAS DE CALCULO, DERIVADAS

En el movimiento uniformemente acelerado empleamos la gráfica de la aceleración constante para obtener una velocidad promedio, sin embargo en la realidad un móvil no se mueve en base a un promedio de aceleración o de velocidad.

Una partícula se mueve bajo una velocidad instantánea que puede cambiar rápidamente. Calcular estos cambios instantáneos requiere que el cambio de tiempo sea instantáneo, en otras palabras que:

Sin embargo aritméticamente no podemos hacerlo, ya que eso convertiría a las divisiones para la velocidad y la aceleración como divisiones entre cero o no definidos.

¿Cómo resolver el problema de la velocidad instantánea?
Por milenios los matemáticos no pudieron resolver este problema, pero en el siglo XVI dos matemáticos desarrollaron la rama de las matemáticas que puede lidiar con estas divisiones entre cero, el cálculo.

7.1 Newton y Leibniz

Casi tres siglos y medios aproximadamente han transcurrido desde la invención del cálculo de las derivadas y las integrales, y aún continúan controversias y comentarios sobre quién fue mejor matemático y científico, por supuesto: Isaac Newton o Gottfried Leibniz. Vamos a conocer un poco más sobre estos científicos, sus aportes y la famosa disputa por la invención del cálculo.
Leibniz (1646-1716) fue historiador, político, filósofo, pedagogo, diplomático, viajero, y matemático. Se pasaba días enteros en la biblioteca de su padre leyendo a Platón y Aristóteles. Más tarde se interesó por las matemáticas, jurisprudencia, historia y arqueología, ya en la universidad de Leipzig. En su segundo año de estudios, escribe su primer trabajo científico impresionando a sus profesores de ser un monstruo como devoraba libros. Con 19 años, obtiene el grado de bachiller; a los 26 años, Christiaan Huygens le lleva los libros de Descartes, Cavalieri, Torricelli y Pascal, entre otros.
Sus trabajos en matemáticas incluyen la serie de Leibniz, los términos de función, algoritmo, y coordenadas. Introduce el sistema de numeración binaria. Asimismo, elabora, con independencia de Newton, el cálculo de las derivadas y las integrales, e introdujo los símbolos que ahora utilizamos para resolver problemas y ejercicios de cálculo.
Newton fue físico, matemático, astrónomo, alquimista y estudioso de las sagradas escrituras donde dedico la mayor parte de su tiempo.
Por hablar del Newton matemático, solo el teorema general del binomio le haría ocupar un lugar entre los mejores matemáticos británicos; también un método de interpolación para aproximar raíces de polinomio de n grados y el método del paralelogramo, pero esto sería poco para este pequeño inglés, quien jamás aceptaría ser el segundo de nadie.
Newton desarrolló su cálculo de fluxiones diez años antes que Leibniz, y únicamente lo expuso en un tratado informal solo entre sus seguidores. Poco después, Newton se da cuenta sobre que el cálculo de las tangentes (fluxiones) es el mismo que el de áreas y volúmenes, solo que inverso. Había descubierto también el cálculo integral o como él llamaba antifluxiones. Esta relación inversa de derivadas e integrales es lo que se denomina el primer teorema fundamental del cálculo.
Leibniz y Newton, de manera independiente, desarrollaron el segundo teorema fundamental del cálculo, lo que consiste en ponerle límites a las integrales definidas, desde un valor (a) hasta un valor (b), para después sustituir estos valores a la función integrada o antifluxión.
Leibniz no consideraba digno de publicar el cálculo, sin embargo, habiéndolo descubierto diez años después de Newton, lo hizo público de inmediato. Cuando Newton se da cuenta de que su cálculo ya es conocido en Alemania, comienzan las acusaciones de plagio por parte de Newton, Leibniz y los seguidores de ambos. 
Cuando el escándalo crece, Leibniz erróneamente acude a la Royal Society para que resolviera el problema. Como Newton era el presidente, nombró a amigos suyos para que investigaran y él mismo escribió el informe de tales o cuales investigadores, haciendo que la Royal Society a través del mismo acusara a Leibniz de plagio.   
Con el tiempo, se concluyó que ambos desarrollaron el cálculo de manera independiente, prefiriéndose la notación de Leibniz. Así, si bien existe toda evidencia de que Newton fue el primero, la paternidad del cálculo se les acredita a ambos.

7.2 Límites y derivadas


Emplearemos entonces los símbolos de Leibniz para definir inicialmente el concepto de límite. Como mencionamos anteriormente la velocidad instantánea se encuentra en el límite en que el cambio de tiempo tiende infinitesimalmente a cero:

Cuando vea su curso de cálculo, se le dedicará bastante tiempo a las diferentes técnicas de derivación, pero esto no es un curso de cálculo, simplemente es una inducción a los conceptos y una descripción de las herramientas.
Inicialmente introducimos la notación de cambio infinitesimal

En el movimiento uniformemente acelerado tenemos las siguientes relaciones.

Para resolver esto es necesario conocer la fórmula extensa que contiene los tres valores, desplazamiento, velocidad y cuya aceleración es constante.

¿Cómo derivalos la fórmula de la posición final con respecto al tiempo?
Los matemáticos han diseñado diversas técnicas simplificadas para encontrar dichos límites, proceso al cual denominamos como derivación. Una leve inspección en internet nos permite ver algunas técnicas de derivación, de laas cuales describiremos las de las fórmulas mas simples a continuación.


7.2.2 Derivada de una suma


7.2.3 Derivada de una constante


7.2.4 Derivada de una variable multiplicada por una constante




La regla E de derivación es muy flexible, a continuación presentaremos tres ejemplos numéricos para ilustrar los tres casos posibles:

Derivando una variable elevada a una potencia positiva mayor a 1

Derivando potencias negativas

7.3 Derivando las ecuaciones del MUA

Ahora, realizaremos la derivación de las fórmulas del movimiento uniformemente acelerado. Para ello debemos tomar forzosamente la fórmula de la posición  en términos de la aceleración y el tiempo.
Debemos Derivar la siguiente función

Iniciamos, separamos la derivada de la formula completa, como las derivadas de cada sumando.

Ahora que ya sabemos cómo calcular como una constante iniciamos. Derivar una suma es igual a la suma de las derivadas.

Ahora solo nos resta deducir la tercera fórmula, la cual no emplea el tiempo. Hay que tener en cuenta que podemos emplear la fórmula de la velocidad promedio, lo cual facilitaría mucho las cosas, pero en caso de olvidarla hay que tener en cuenta que su deducción es posible a partir de las dos ecuaciones que ya poseemos, solo que el tratamiento algebraico puede hacerse un poco más complejo.

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