miércoles, 30 de septiembre de 2015

4 PRECONCEPTOS DEL MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN


Para iniciar nuestro estudio de la mecánica clásica debemos iniciar por el marco de referencia más simpe de todos, la línea recta, sobre ella definiremos algunos conceptos básicos que nos acampanarán en otros marcos de referencia más complejos.
Aunque en el movimiento en una dimensión se analizan los modelos de estudio conocidos como: el Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”  y el Movimiento Uniformemente Acelerado “MUA”; antes de ahondar en su estudio, debemos definir una serie de conceptos sobre la línea recta.

4.1 El concepto de cambio

Es muy común que existan magnitudes físicas que se definen como cambios, como cambio de posición, cambio de velocidad o cambios en el tiempo. El cambio se designa matemáticamente con el símbolo griego Delta mayúscula a la izquierda de la variable que experimenta el cambio finito y con la letra delta minúscula cuando se experimenta un cambio infinitesimal.
Figura 01. Los símbolos para cambio. El cambio finito se calcula como una resta, pero el cambio infinitesimal es mas complejo.

El cambio finito puede calcularse aritméticamente por medio de restas algebraicas simples, en estas una variable se define como el cambio que se experimenta entre un valor o punto inicial y otro valor o punto final.
Figura 02. Típica resta algebráica para calcular el cambio finito de una variable.

El cambio infinito posee una historia prestigiosa en las matemáticas, ya que solo fue resuelta una manera para calcularlo hasta el siglo XVII con los trabajos de Newton y Leibniz. Dado lo anterior, el cálculo del cambio infinitesimal será un problema que afrontaremos posteriormente.

4.2 Posición

La posición la definimos como la distancia que hay desde un punto determinado al origen, y también se designa como un punto en una coordenada. La medimos generalmente en unidades de distancia que para el sistema internacional son los metros. 
Figura 03. Típicos simbolos para variables de posición, en (a) tenemos para los vectores unitarios, en (b) para el radio, (c) para la altura y en (d) para el largo o longitud.

La variable posición se mide en unidades de distancia.
Figura 04. Las magnitudes físicas son valores medidos en base a escalas definidas arbitrariamente, aquí tenemos cuatro tipos de escalas para la distancia, la mas común es el metro ya que es la unidad del Sistema Internacional de Pesos y Medidas.

Con la posición también iniciamos la posibilidad de evaluar por medio de ejercicios de lápiz y papel.
Ubiquemos puntos en la línea recta:
Para la línea recta el sistema de coordenadas consta de un único valor, que puede ser positivo o negativo. Esta habilidad es elemental y posiblemente se trabajó en niveles escolares de primaria, por lo que el profesor asume que usted ya sabe hacer esto.
Ubicar los siguientes puntos sobre la recta numérica. X = (1); (5); (-3).
Figura 05. Puntos en la recta.

4.3 Desplazamiento

El desplazamiento se define como el cambio en la posición de una partícula ideal desde un punto inicial a un punto final de manera continua. Se puede definir matemáticamente del siguiente modo.
Figura 06. El vector desplazamiento.

A diferencia de la posición que es meramente un punto con respecto al inicio de la recta, el desplazamiento es una magnitud que está determinada por una dirección, es decir, en la recta pueden existir dos vectores con la misma magnitud, pero que apuntan en sentidos opuestos, en el plano y el espacio la cantidad de vectores con la misma magnitud pero con direcciones diferentes es infinita.
A los valores que no se ven afectados por el problema de la dirección los denominaremos escalares, mientras que aquellos que si están afectados por el problema de la dirección los denominaremos vectores.
Figura 07. Diferencias entre vectores y escalares.

La dirección hace referencia al sentido, en la recta basta con emplear el signo positivo o negativo, pero en un plano o en el espacio se emplean instrumentos matemáticos más sofisticados, los cuales emplean: vectores unitarios, descomposición de un vector y triángulos o coordenadas polares.

4.4 Los vectores en una recta

Los vectores son números estructuralmente complejos compuestos por un valor numérico, una unidad dimensional y un indicador de dirección. 
Figura 08. El vector en una sola dimensión.

En la recta, para indicar la dirección de un vector nos basta con los símbolos positivo y negativo. De esta forma si un vector está afectado por el símbolo positivo este apuntará hacia la derecha; por el contrario, si se encuentra afectado por el símbolo negativo el vector apuntará hacia la derecha.
Calculemos vectores numéricos.
Calcule los siguientes vectores y dibújelos en la línea recta.
1- Punto inicial = 20 metros ; punto final = 30 metros

2- Punto inicial = -20 metros ; punto final = 30 metros

A pesar de lo elemental de este tipo de ejercicios, existe una complicación que puede ejecutarse en los ejercicios de lápiz y papel y es el de las comunidades. Para poder sumar, restar, o ejecutar el factor común como hicimos anteriormente es necesario que los dos puntos se encuentra expresados en la misma unidad dimensional, de no ser así es necesario realizar una conversión desde las unidades que nos presenta el problema a unidades que puedan manejar sin más fácilmente o unidades que esté solicitando el problema. 
Por ejemplo:
Determina el desplazamiento de una partícula que inicia su movimiento a -30 metros del origen del termina su movimiento a 1200 centímetros del origen. Exprese la respuesta en las unidades del sistema internacional básicas.
En este caso, hay que tener en cuenta que las unidades básicas del sistema internacional para la distancia es el metro.

4.5 Posición, distancia y desplazamiento

Resulta importante definir la diferencia que existe entre los conceptos de posición distancia y desplazamiento. La posición se define como la diferencia que existe entre el punto de origen y el punto en que se encuentra una partícula.
Figura 09. El vector posición.

Como la deseamos anteriormente el desplazamiento es el cambio en la posición de una partícula en que un punto final y uno punto inicial. 
Figura 06. El vector desplazamiento.

Sin embargo la partícula puede recorrer una distancia mucho más larga que su desplazamiento, esto se debe a que la partícula puede oscilar antes de terminar de desplazarse. El ejemplo típico es el de los jugadores de baloncesto, ellos avanzan y retroceden constantemente de forma tal que su desplazamiento o de éxtasis cero, sin embargo la distancia total que han recorrido es muy diferente deseo.
Dado lo anterior definiremos la distancia total recorrida como la suma de los valores absolutos de cada
 uno de los desplazamientos que hubiera sufrido la partícula.
Figura 10. El escalar distancia total recorrida.

El valor absoluto elimina la naturaleza vectorial y permite suma entre todos los desplazamientos para obtener la distancia total recorrida. No se deje confundir por la notación sigma, esta simplemente ordena sumar desde el primer desplazamiento que se simboliza como n = 1 hasta el último desplazamiento que se simboliza como i.
Ejemplo.
Calcular los desplazamientos intermedios, el desplazamiento total y la distancia total recorrida para una partícula que se movió desde 5 metros retrocediendo -3 metros y finalmente avanza hasta 4 metros.

Ejercicios de lápiz y papel.
Una partícula se mueve entre los siguientes puntos. Determinar el desplazamiento total y la distancia total recorrida.
1- X1 = 0; X2 = -3m; X3 = 7m
2- X1 = 20m; X2 = -500cm; X3 = 2m

4.6 Velocidad y tiempo

En cinemática no sólo nos interesa saber la dirección en la cual se mueve una partícula, sino también cuando se tarda en lograrlo. En consecuencia debemos ingresar una nueva variable a nuestros cálculos, y es la variable del tiempo. Recuerde que en el sistema internacional de unidades el tiempo se mide en segundos.
Cada uno de los desplazamientos se logra en una cantidad de tiempo determinada, entre menos tiempo se tarda decimos que la partícula posee una mayor velocidad. Sin embargo, en física hay dos conceptos semejantes que usamos indistintamente de forma coloquial, pero que poseen una definición completamente diferente en términos matemáticos, estamos hablando de la velocidad y la rapidez.
La velocidad la definimos como el desplazamiento dividido entre un cambio de tiempo o simplemente entre tiempo final tal como se demuestra en la siguiente figura.
Figura 11. La velocidad promedio.

Tenga en cuenta que para desplazamientos múltiples el tiempo inicial no es cero en todos los casos y se debe emplear la forma completa.
Debido a que la velocidad está afectada por la dirección del desplazamiento, está también posee una naturaleza vectorial. Por otra parte el cambio de tiempo a pesar de ser un vector si empleaba juntar hacia la derecha, ya que bajo condiciones normales no es posible viajar hacia atrás en el tiempo.
No es lo mismo viajar a 30 metros por segundo “y avanzar” que viajar a -30 metros por segundo “y retroceder”. En ambos casos la magnitud es la misma, pero la elección cambia. A la magnitud del vector velocidad lo denominamos rapidez y lo podemos definir como el Valor absoluto de la velocidad. Los símbolos de rapidez y velocidad son semejantes, la velocidad se define con una “v” cursiva, mientras que la rapidez se define con una “v” normal.
Figura 12. Rapidez promedio y velocidad promedio.

Las unidades para la velocidad se define como una composición, para el sistema internacional de unidades será metros sobre segundo.

4.7 El problema de la aceleración

Tal como están definidas anteriormente, la velocidad y la rapidez que calculamos es un promedio, no es ni la velocidad y la rapidez reales. La partícula puede cambiar de velocidad, proceso el cual denominamos aceleración.
El problema la aceleración no es para nada un problema fácil de resolver, de hecho los matemáticos sólo pudieron resolver lo hace la invención del cálculo en el siglo XVI por Newton y Leibniz.
Dado lo anterior, analizaremos un caso de estudio en el cual la partícula se mueve a una velocidad constante de forma tal que la velocidad promedio es igual a la velocidad real, ese caso estudio se denomina el movimiento uniformemente rectilíneo.

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